2022-2022衡水金卷先享题·信息卷 理数（四）答案 全国甲卷B

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16.[2m,22m]【解题思路】先根据AB⊥平面BCD,CD⊥BC得到△ACD与△ABD是共斜边AD的直角三角形,取AD的中点O,根据几何体外接球球心到该几何体各顶点的距离相等得到点O为四面体ABCD外接球的球心,再利用球的性质得到截面圆半径的最小值与最大值,最后利用相关公式即可求解【解析】因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD,又CD⊥BC,AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC,所以CD⊥AC,则△ACD与△ABD是共斜边AD的直角三角形,取AD的中点O,则点O到四面体ABCD各顶点的距离相等,故点O为四面体ABCD外接球的球心.(几何体的外接球球心到该几何体各顶点的距离相等)因为AB=1,BC=3,CD=2,所以AC=2,BD=√7,AD=22,所以外接球半径R接OP,则 OP AC=1,由球的结构特征可知,过2点P的平面截球O所得截面为圆易知当直线OP垂直过点P的平面时,截面圆的半径r最小,且r=√R2-OP2=1,此时截面圆的周长最小,为2πr=2π;显然截面圆的最大半径r等于球O的半径,为2,故截面圆周长的最大值为2mr’=22m故截面周长的取值范围为[2m,22m]解后反思】解决与球有关的问题,首先要确定球心的位置,然后利用球的几何性质,结合相关知识进行求解.求解本题的难点有两个:

17.【学科素养】试题以实际问题为背景,引导考生在实际情境中从数学的视角分析问题、建立数学模型解决实际问题,体现了理性思维、数学应用学科素养【解题思路】(1)结合茎叶图分别求出这10年A,B两地每年最大日降水量的平均值,即可得解;(2)利用古典概型的概率计算公式求解即可解:(1)由茎叶图可知,这10年A,B两地每年最大日降水量的平均值分别为x=10×(86+92+96+106+116+116+126+126+128+128)=112(mm);(2分)10(86+88+92+96+96+98+106+114+126+128)=103(mm)(4分)故这10年中A,B两地每年的最大日降水量超过平均值的年数分别为6年4年(6分(2)这10年中,A地每年的最大日降水量超过120mm的有4年,B地每年的最大日降水量超过120mm的有2年,(8分)从这6年中任意选取2年,不同的选法共有C=15(种),若这2年恰好分别选自A,B两地,则不同的选法共有CC2=8(种),(10分)所以这2年恰好分别选自A,B两地的概率P=1s·(古典概型的概率计算公式)(12分)